sábado, 23 de abril de 2011

MOMENTUM ANGULAR
El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular. El momento angular se mide en el SI en kg·m²/s.
Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva.
El nombre tradicional en español es momento cinético,pero por influencia del inglés angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

Momento angular de una masa puntual

El momento angular de una partícula con respecto al punto \scriptstyle{O}es el producto vectorial de su momento lineal \scriptstyle{m\mathbf v} por el vector \scriptstyle{\mathbf r}.
En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento \mathbf{p} con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo \mathbf{L}. Siendo \mathbf{r} el vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será
\mathbf L=\mathbf r \times\mathbf p = \mathbf r\times m\mathbf v
El vector \mathbf L \, es perpendicular al plano que contiene \mathbf r \, y \mathbf v \,, en la dirección indicada por la regla del producto vectorial oregla del sacacorchos y su módulo o intensidad es:
L = mrv\sin\theta = p\,r\sin\theta=p\,b_p
esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo (b_p\, en el dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula.


Momento angular y momento dinámico

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:
{d\mathbf L\over dt}={d\ \over dt}(\mathbf r\times \mathbf p)= \left({d\mathbf r\over dt}\times \mathbf p \right)+\left( \mathbf r\times{d\mathbf p\over dt}\right)
El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de \mathbf r \, con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad \mathbf v \, y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento \mathbf p \,, el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos:
{d\mathbf L\over dt}=\mathbf r\times{d\mathbf p \over dt} = \mathbf r\times{d\over dt} \left( m\mathbf v \right) = \mathbf r\times(m \mathbf a)
donde \scriptstyle{\mathbf a} es la aceleración de la partícula, de modo que m\mathbf a=\mathbf F \,, es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de \mathbf r \, por la fuerza es el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:
{d\mathbf L\over dt}=\mathbf r\times \mathbf F=\mathbf M
Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, \mathbf L \,  y \mathbf M\, deberán estar referidos al mismo punto O.


Momento angular de un conjunto de partículas puntuales

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:
\mathbf L=\sum_k \vec r_k \times \vec p_k=\sum \mathbf L_i \,
La variación temporal es:
{d\mathbf L\over dt}=\sum{d\mathbf L_i\over dt}=\sum\mathbf M_i \,
El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:
{d\mathbf L\over dt}=\sum{d\mathbf L_i\over dt}=\mathbf M_{ext.} \,
El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.


Momento angular de un sólido rígido

Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\mathbf{I}(t) \mathbf{\omega}(t)\right]

Donde:
  • \scriptstyle{\mathbf \omega} es la velocidad angular del sólido.
  • \scriptstyle{\mathbf{I}} es el tensor de inercia del cuerpo.
Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia \mathbf{I}, depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:
{d\mathbf L\over dt} \ne \mathbf{I}{d\mathbf{\omega} \over dt} =\mathbf{I}\mathbf{\alpha}

Donde \scriptstyle{\mathbf \alpha} es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que \mathbf{I} = \mbox{cte.}, aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:
{d\mathbf L\over dt} = \mathbf{I}{d \mathbf{\omega} \over dt} + \mathbf{\omega} \times (\mathbf{I} \mathbf{\omega})

Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular.
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